Αλλάζοντας μέγεθος

ΠΡΙΝ ΞΕΚΙΝΗΣΕΤΕ: Η ιστοεξερεύνηση "Αλλάζοντας μέγεθος" έχει ήδη εφαρμοστεί στο Πειραματικό Λύκειο Ηρακλείου, το σχολικό έτος 2008-09, ενταγμένη στο μάθημα επιλογής "Εφαρμογές Υπολογιστών". Το πλαίσιο εφαρμογής, καθώς και οι εργασίες των μαθητών, βρίσκονται στον ιστότοπο http://users.ira.sch.gr/iriniper/allazontas_megethos

Ι. ΤΟ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ένα από τα θέματα της Γεωμετρίας τόσο του Γυμνασίου όσο και του Λυκείου είναι η ομοιότητα και η ομοιοθεσία. Στο Γυμνάσιο το θέμα περιορίζεται στη σχέση μηκών των ομοίων σχημάτων και στην κατασκευαστική διαδικασία με χάραξη παραλλήλων ευθειών. Στο Λύκειο, η διερεύνηση της ομοιότητας σχημάτων προχωρά λιγάκι και στη σχέση των εμβαδών τους.  Με το να απουσιάζει όμως η στερεομετρία από τη Μέση Εκπαίδευση, το θέμα δεν επεκτείνεται στον τρισδιάστατο χώρο. Αυτή η επέκταση είναι και η πλέον ενδιαφέρουσα, αν μάλιστα αναφερθούμε όχι απλώς σε στερεά σώματα, αλλά σε υλικές υποστάσεις του κόσμου μας.

Απ’ αυτή τη σκοπιά, αντιλαμβανόμαστε ότι έχουμε να κάνουμε με ένα αντικείμενο μελέτης, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και πολλών άλλων πεδίων:

1) Η προοπτική στην Τέχνη (δηλαδή η απεικόνιση του βάθους του χώρου) είναι ακριβώς η εφαρμογή των γεωμετρικών αρχών της ομοιοθεσίας.  Π.χ. αυτό που η Γεωμετρία ονομάζει «κέντρο ομοιοθεσίας», η Τέχνη ονομάζει «σημείο μηδενισμού» (vanishing point).
2) Στις Φυσικές επιστήμες, το αυξανόμενο μέγεθος σχετίζεται με το αυξανόμενο βάρος και επομένως και με την αυξανόμενη πίεση που ασκεί το σώμα στο έδαφος. Αυτό, αποτελεί μια από τις βασικές αρχές της Αρχιτεκτονικής.
3) Η Οπτική έχει να προσθέσει γεωμετρικά στοιχεία στο θέμα της μεγέθυνσης/σμίκρυνσης του ειδώλου ενός αντικειμένου, εξετάζοντας το φαινόμενο της ανάκλασης των ακτινών σε επίπεδα, παραβολικά, ελλειπτικά ή υπερβολικά κάτοπτρα.
4) Η Βιολογία πραγματικά μας εκπλήσσει: Το μέγεθος των ζώντων οργανισμών καθορίζει και τον τρόπο ζωής τους (μεταβολισμό, ρυθμό απώλειας θερμότητας, ρυθμός πρόσληψης οξυγώνου, ρυθμός κτύπων καρδιάς, διάρκεια κυοφορίας, διάρκεια ζωÞς, κ. α.)

Όμως, το κεντρικό στοιχείο που συνδέει όλα αυτά τα πεδία, είναι καθαρά Γεωμετρικό: Ο ΤΡΟΠΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΤΟΥ ΟΓΚΟΥ ΚΑΙ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΕΝΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΚΑΘΩΣ ΑΛΛΑΖΕΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΟΥ.

Σ’ αυτό ακριβώς εστιάζουμε.


ΙΙ. ΠΛΑΙΣΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΤΗΣ ΙΣΤΟΕΞΕΡΕΥΝΗΣΗΣ

α) Καθηγητές: Λόγω της προέκτασης του θέματος σε διάφορα επιστημονικά πεδία, θα μπορούσαν να συνεργαστούν πάνω σ’ αυτό Καθηγητές διαφόρων ειδικοτήτων, ακόμα και από διαφορετικά σχολεία. Απαραίτητη όμως είναι η συνεργασία Μαθηματικού και Καθηγητή της Πληροφορικής.
β) Μαθητές: Απευθύνεται σε μαθητές της Β´ Λυκείου που γνωρίζουν την ομοιότητα, χωρίς απαραίτητα να έχουν διερευνήσει τη σχέση των εμβαδών ομοίων σχημάτων.
γ) Ένταξη στο σχολικό πρόγραμμα: Επειδή ακριβώς το θέμα καλύπτει το «κενό» της στερεομετρίας στο μάθημα της Γεωμετρίας, καλό είναι να ενταχθεί σε παράλληλη δράση, ή στο μάθημα της Πληροφορικής.
δ) Οργάνωση ομάδων: Ο καθηγητής χωρίζει το τμήμα στις 5 ομάδες μαθητών όπως περιγράφεται στο πεδίο «Εργασία».  Αν το τμήμα υπερβαίνει τους 20 μαθητές, οι ομάδες θα πρέπει να διαιρεθούν σε υποομάδες που όμως θα συνεργαστούν για την παραγωγή του τελικού προϊόντος.  Για να αναπτυχθεί δημιουργικός διάλογος μεταξύ των μελών, καλό είναι οι ομάδες να είναι ανομοιογενείς και ως προς το φύλο και ως προς το κοινωνικό  και μαθησιακό επίπεδο.
ε) Προτεινόμενη έκβαση της εργασίας: Αφού ολοκληρωθεί το έργο και η παρουσίαση των ομάδων, προτείνεται να συγκεντρωθούν όλα τα στοιχεία που αυτές συνέλλεξαν και συνέθεσαν στο δικτυακό τόπο του σχολείου, για ευρύτερη ενημέρωση της σχολικής κοινότητας.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Η ιστοεξερεύνηση "Αλλάζοντας μέγεθος" εφαρμόστηκε στο Πειραματικό Λύκειοο Ηρακλείου, το σχολικό έτος 2008-09. Στο site http://users.ira.sch.gr/iriniper/allazontas_megethos μπορείτε να αναζητήσετε το πλαίσιο εφαρμογής της, καθώς και τις εργασίες των μαθητών.


ΙΙΙ. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ – ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ

Η ιστοεξερεύνηση στοχεύει στην παιδαγωγική αξιοποίηση του διαδικτύου. Στο πλαίσιο μιας ομαδοσυνεργατικής μάθησης, οι μαθητές αναζητούν, συλλέγουν και διασταυρώνουν πληροφορίες.  Μαθαίνουν να κρίνουν την αξιοπιστία των πηγών τους και να εστιάζουν στο θέμα που τους ενδιαφέρει, αξιοποιώντας τα σημαντικά στοιχεία στη δημιουργία ενός τελικού έργου όπως μια παρουσίαση για τους συμμαθητές τους. Θέτουν ερωτήματα, πειραματίζονται σε εικονικά εργαστήρια και επεκτείνουν τον προβληματισμό και την έρευνά τους. Αυτό το «ψάξιμο» και το «άνοιγμα» προς τη γνώση είναι ένας από τους σημαντικότερους παιδαγωγικούς - μαθησιακούς στόχους μιας ιστοεξερεύνησης. Τέλος, μαθαίνουν να αξιολογούν το έργο τους και να βελτιώνουν την παρουσία τους.

Η συγκεκριμένη ιστοεξερεύνηση φιλοδοξεί να διευρύνει τη γεωμετρική αντήληψη των μαθητών για τη μεγέθυνση / σμίκρυνση και την ομοιότητα των σχημάτων. Δίνεται έμφαση στα μεγάλα και τα μικρά μεγέθη των υλικών σωμάτων. Ζητάμε από τους μαθητές
1) Να γνωρίσουν συγκεκριμένους  μαθηματικούς κανόνες για τη μεταβολή της επιφάνειας και του όγκου που ακολουθούν τη μεταβολή του μεγέθους.
2) Να συνδέσουν το μέγεθος των οργανισμών με τις βασικές βιοτικές τους λειτουργίες.
3) Να κατανοήσουν ότι η βαρύτητα θέτει φραγμούς στην ανάπτυξη του μεγέθους των υλικών (έμψυχων και άψυχων) σωμάτων.


IV. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ

Για την αξιολόγηση παρατίθεται ένα διαβαθμισμένο πλαίσιο κριτηρίων στο πεδίο Evaluation. Με βάση αυτό αξιολογείται το έργο της κάθε ομάδας. Την αξιολόγηση μπορεί να την κάνει μόνο ο καθηγητής, αλλά θα μπορούσαν να συμμετέχουν σ’ αυτήν και οι μαθητές. Να ζητηθεί δηλαδή από την κάθε ομάδα να βαθμολογήσει και αυτή τη δική της παρουσία, με σκοπό να τη βελτιώσει.


V. ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Είμαι πεπεισμένη πως το θέμα της μεγέθυνσης/σμίκρυνσης - ομοιότητας παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον για τους μαθητές και αναμένω να ενθουσιαστούν με τις ανακαλύψεις τους.

Βέβαια, γνωρίζω ότι το θέμα έχει και άλλες προεκτάσεις που σκόπιμα δεν έθιξα. Η σημαντικότερη από αυτές είναι η σύνδεση της ομοιότητας με το Θεώρημα του Θαλή, που ως γνωστό, είχε βρει από την αρχαιότητα ήδη εφαρμογή σε τεχνικές μέτρησης μεγάλων υψών και αποστάσεων.

Όμως, σ’ αυτά τα σκοπίμως παραλειπόμενα, θα ήθελα να προσθέσω και δύο ξεχωριστά έργα που μας άφησε ο Αρχιμήδης. Γιατί ο Αρχιμήδης ήταν ο μεγάλος νους που μπόρεσε με πενιχρά μέσα να μας μιλήσει για το άπειρο.

Το πρώτο έργο είναι ο εντυπωσιακός υπολογισμός του όγκου της Γης στον «Ψαμμίτη» του, όπου θέτει το ερώτημα για το πόσους κόκκους άμμου χρειάζονται για να γεμίσουν ολόκληρη τη Γη (εσωτερικό, θάλασσες και βουνά) και πόσους για να καλύψουν ολόκληρο το Σύμπαν. Τι τόλμη πραγματικά! Να συγκρύνει το μέγεθος (όγκο) της απέραντης σφαίρας του Σύμπαντος με τον ασήμαντο και ελάχιστο κόκκο άμμου! (πρωτότυπο ελληνικό κείμενο στο http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/psammites.ps - απαιτείται για την ανάγνωση ghost script viewer, δείτε π.χ.  http://pages.cs.wisc.edu/~ghost/index.htm).

Το δεύτερο έργο του είναι το «Περί σφαίρας και κυλίνδρου» όπου θεωρεί μια σφαίρα εγγεγραμμένη σε κύλινδρο και διαπιστώνει ότι η επιφάνεια της σφαίρας που βρίσκεται μεταξύ δύο παράλληλων προς τη βάση του κυλίνδρου επιπέδων, είναι πάντοτε ίση με την αντίστοιχη επιφάνεια του κυλίνδρου. Πρόκειται για πραγματική έκπληξη! Μάλιστα, τόσο γοητεύθηκε ο Αρχιμήδης από τη σχέση αυτή, που ζήτησε να χαράξουν στον τάφο του μια εγγεγραμμένη σφαίρα σε κύλινδρο. http://mathworld.wolfram.com/ArchimedesHat-BoxTheorem.html

Δείτε επίσης το http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/archimedes.html